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俞明三:从数学之函到函学之函

一 切 都 有 合 理 之 时
——从数学之函到函学之函
            
《和谐哲源新说》是“函学”纲要的简编。函学以函立说,以时间函数解释世界整体。函数概念解析于数式,显现于太极。对征于时间,定格于空间。从数形、动静上演绎于哲源。
函学之函从数学之函演绎而来的理路对全面认识和理解函学,具有举足轻重的作用。为此将其演绎理路简述如下,希望有利于对本书内容的理解。
一、数学之函
凡有高中数学基础的人都知道函数的意义, 函数(function)表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。最先提出中学课本上函数定义的是法国数学家哥西。简单通俗地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数。
汉语数学中的“函数”是个意译词。就象“收音机”、“自行车”一样是把外文的词按意思转译过来的。它是我国清代数学家李善兰在译著《代微积拾级》中首先使用的。中国古代“函”字与“含”字通用,所以李善兰的本意,将函数看成是公式中含有变量的意思。
函数常表示为y=f(x)。x所有值的集合被称作这个函数的定义域,y所有值的集合被称作值域。
不等式、方程实质上是函数的一种特例。当函数值等于零或一个常数时,函数式则变为方程。对应的自变量的值就是方程的根。当函数值“大于或小于”零(或某一个常数)时,函数就变成了不等式,可以求自变量值的范围。
现代函数概念定义为“若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。”
函数的种类有好多。
从自变量的不同上分有原函数、反函数,一元函数、多元函数,有实变函数、复变函数,还有隐函数、复合函数等。
从解析式的不同上分有奇函数、偶函数、线性函数、非线性函数,指数函数、对数函数、三角函数等。
从运算特征上的不同又有初等函数、高等函数、超越函数等。
从函数显示的图象上分还有增函数、减函数、单调函数,双曲函数、周期函数、椭圆函数。
物理上还有以状态对应的状态函数;计算机程序设计上还有程序函数等。
从以上简单介绍可以知道,函数反映的意义有多种。
第一,自变元与因变元的关系是变量性、对应性、关系性。它们之间可以表示因果关系,也可以表示对应关系,还可以表示一切关系的关系。也就是说只要事物间有关系都可用函数表示。
第二,自变元可以是一个也可以是多个,如多元函数、复合函数等。
第三,自变元不一定就是因变元的原因。自变元也可以只是因变元的一种对应,如状态函数。
第四,自变元的值确定时,因变元不一定就是一个确定的值,也可以是一种大致的范围,甚至是不可固定解或无解的问题,如不等式、高次函数等。反函数中情形也是一样。
第五,函数值不仅与自变元的变化有关,与函数解析式也有十分重要的关系。如自变元的零次式的值就与自变元的值无关,自变元是一次方的函数就是线性函数,自变元是一次方以上的函数就是非线性函数了。它们不仅函数值的变化不同,而且图象上也迥然相异,如一次方的是直线,二次方的就是曲线了。
第六,函数反映的不仅是数量关系,也可以反映事物的本质及特征,甚至可以反映人的复杂情感。如状态函数、程序函数等数字模拟的音象、机器人的表情应对等。
二、时间之函
人们常说,三十年河东,三十年河西,时光不饶人,一切因时而变。当政者也提出过著名的“与时俱进”号召。还有人对人生总结了一张时间对应表,这就是“十岁天天向上,二十岁志在四方,三十岁前途无量,四十岁事业兴旺,五十岁成就辉煌,六十岁告老还乡,七十岁儿孙满堂,八十岁晒晒太阳,九十岁睡在床上,一百岁挂在墙上。”这些生动具体的经验总结,说明人们生活中已经认识到时间与事物变化的对应关系。也就是说人们在现实生活中,已经将“一切”作为“时间为自变元的函数”来看待。
社会科学中,无论是历史年表,还是大事纪要甚至是计划图表,无不以年代、时间为对应进行研究。
自然科学中明确地以时间函数进行科学研究,比比皆是。深圳大学的汪天文教授在《时间理解论》中写道:“我们可以考察下面几个物理学函数:
正线波函数       Аsin[2n(r+vt)/λ]
态函数           T(t)          E(t)
热传递函数         Q =αS(θ—θ1)t
刚体匀加速运动方程S=v0t+at2/2        V=at
一维布朗运动函数          =2Dt
量子波函数P(r,t)=c|Ψ(r,t)|dt2
以上这些函数有一个共同特点,即自变量中都有时间参数t,为了简单直观起见,我们把这类函数归纳为这样的通式:
S=F(a1,a2,……an,  ,t)
式中s代表某一状态,a1,a2,……an是除了t外的其他可能的自变量,n是自然数.
假定时间的客观单向性成立,那么在物理过程中任何一个自变量都可以表示为:
Ai=Gi(t)    (i=1,2,……n,n为自然数)代入中得:
S=F[G1t,G2t,……Gnt,t]     
我们可以找一个总的状态函数来改造:
AS=AS(t)     
式中AS表示所有可描述状态的综合结果.式表明,在数学意义上,物理过程的总的状态函数的最终的唯一的自变量是“t”。但从物理意义上看,唯一的终极的自变量就意味着唯一的原动力,因为任何其他的因素都要从时间那里取得自变量的函数关系,于是时间就从原来的数学自变量跃升为控制一切物理过程的决定力量。……外部因素如果真的对系统进行干涉、更改,也是在时间的安排下进行的。……引入到生物界和人类社会将会出现什么问题呢?应该说,它同样适用,因为时间参数“t”是客观的单向的,生物体或人的第一个状态都可以还原为物理过程、化学过程、生理过程,这些过程都不能摆脱时间t的制约”(人民出版社2008年7月第一版第316-317页)。
有人(包括汪天文教授)据此只是反驳说,如果一切都是时间函数的话,那么一切就是时间预定的了,这是机械决定论和宿命论的看法,显然是错误的。并断然说,否则八字四柱的预测算命也就变成科学了。
我们这里不讨论机械决定论、宿命论的是非,这让万千民众的实践生活经验去回答。我们只就函数意义的本身而言,前面就已说过,根据自变量,可以算出精确值,也可以只能算大致范围值,甚致因为解析式的复杂而会有无法算的可能情况。所以时间函数反映的一切,有的当然是可以精确预见的(如牛顿物理定律宏观应用),也有的是不可预见的(如微观粒子的测不准原理),也有可大约预见(如量子波函数)的情况,这完全在于函数解析的复杂情况,作为函数特例的方程、不等式,也就有唯一解、无数解、无解、不合题意解的等多种情况。这些应该是大家的常识。因此,说如果“一切既是时间函数”那么一切就肯定是“时间可精确预定”的话,这是没有大前提根据的,这只能是不全面了解函数知识的主观臆断。  
函学提出“一切都是时间函数”的命题,应该说是一个足够大胆的创新。北京大学吴国盛教授指出:“时间聚集着最丰富的多样性和最真切的统一性。”(见吴国盛著《时间的观念》北大2009年9月版第1页)但是他又说:“时间问题根本就是一个深渊,如果没有一定的功力,直接思考这个问题极容易出毛病,写出来的东西不是胡言乱语,就是废话一堆。”吴教授既指出了时间问题的前沿性,又强调了时间问题的复杂和深奥。不过,我们认为,再深奥的真理论都必然有事实的支持,从事实出发,有事实支持的理论,总比没有事实支持的理论来得正确些。既然时间有“最真切的统一性”,那么,函学以时间作为哲源追踪的出发点,应该说是一个大胆正确的创新选择。
普里高津也曾说,当今人们的兴趣“正在从实体转移到关系,转移到信息,转移到时间上”。(转引自刘奔《时间是人类发展的空间》,载《哲学研究》1991年第10期),这说明以时间为出发点研究哲学前沿问题已成为世界哲人们的共识。
2011年9月由中、美、德、俄、印等数十个国家的70余名学者在日本东京召开的第8届国际怀特海大会上都认可以过程视角理解世界和事物,不以实体、静态、机械方式理解社会(转引自《哲学动态》2011年11期)。这更是对函学“过程时间观”的有力支持。
函学认为,追溯时间概念的来源,一日就是地球自转一周,一年就是地球公转一周的事实告诉我们,时间表征的就是事物变化运动的过程。过程所能表征的内容都可用时间来表征。过程长就是时间长;过程虽有曲折但离不开绵延,时间虽不知曲折与否,但肯定是跟着过程绵延;过程承载着各种具体内容,时间同样毫不逊色。
深圳大学汪天文教授在《时间理解论》(人民出版社2008年7月版)多处指出时间的过程意义。如他说“时间是人类积极争取的过程。(173页)”,“我们把这种运动所经历的过程和运动周期的次数(周期的次数实质上还是过程,是次数的过程——引者注)规定为时间(299页)”,“我们引入时间概念,使我们的生活充满秩序,历史才有连贯性(连贯、秩序是程序,也是过程——引者注),一致性。(325页)”等等。汪教授也不自觉地强调了时间的过程特征。
如果说,北大吴教授、深圳大学汪教授说的是哲学前沿理论(二书序言中的话)的话,那么,“一切都是时间函数”的命题则既具有广泛的事实基础,又有各种前沿理论的支持。
三、空间之函
有人说,根据爱因斯坦的相对论,不光时间变化,空间也是变化的。为什么不说一切是空间函数呢?是的,空间与时间一样,根据相对论也随着物体运动速度的变化而变化。但我们这里说时间的变化是不考虑运动速度变化的变化。这与运动物体的因运动而引起的时间变化是两码事。当然,也可以说我们考虑的时间变化是基础的变化,而相对论的变化是附加了运动速度条件叠加的变化。
再说,不考虑运动速度的空间的变化,也是具体落实在三维空间的三个维度上的变化。我们总不能笼统地就说空间变化,因为现实空间是由三维确定的,必须是三个维度上的三个变化数字才能具体表达空间的变化。再说,每个维度的变化实质上还是时间的变化,因为某维度有变化,就是时间的函数,而整个空间的变化值也只能是以时间为自变量的复合函数,三个维度的变量也只是一种中间变量。这就明白地告诉我们,空间的变化还是时间函数。空间之函只是时间之函的一种复合结果,一种静态显现。时间理论上有种说法,这就是“时间空间化”的表示,也就是说时间本身我们看不到,但都是通过事物在空间变化状态上分析出的。因此这里我们也可以说,空间之函只是时间之函的空间化、静态化。
四、太极之函
太极之函,是以太极图腾显现的。太极图看上去是一幅静态的图,而显示的却是动态的原理和效果。太极图中的“∫”线就表示明暗两块(即阴阳鱼)的明暗因素比例点(即太极眼)在上面的上下移动轨迹,显示了一种对应的函数关系。
不仅如此,太极之函还全面地显示了世界整体的中态定在、正态定变、局态定位。
所谓中态定在,就是太极图中各种阴阳比例不同事物的自然存在,世界永远不可能是清一色的纯之又纯。世界中始终存在着真假高低,只是有的应时而出,适时而盛;有的过时而隐,逆时而退而已。因此太极之函显示了有函乃大的包容性。这种包容性又因时间函数的通约为原则。概括起来就是“百花齐放,应时者鲜;百家争鸣,适时者盛。”夏天腊梅不开,不是腊梅不好,而是时间季节不宜。新婚之夜,不训淫戒,不是淫戒不对,而是不是时候。一切存在都有存在的理由,都有发光的时刻。即是假话、杀人都有派正当用场的时候,在安慰病人时说些假话也是好的,在反抗侵略者时杀人也是不错的。不过不能乱用,不能乱套,一切因时而别。这就是太极函学中“∫”显示的“无穷正反和”的意义所在。
中态定在,不是混乱存在,而分圈层而居。太极函学中以“无限圈层链”作结。一切分圈分层而在,混淆层次是走向认识混乱,世事祸乱的根本原因之一。
所谓正态定变,就是变化皆有过程,而过程始终又呈现近似正弦曲线状之意。任何事物都有变化的始终,都有“发生、发展、鼎盛、衰退、灭亡”这五态。呈现出“∫”形的螺旋正态曲线状。这与太极图中的“∫”线图腾完全相一致,不过还多了反向延长的链节而已。函学的图腾只取了其中一节“∫”加圈“∮”代表全程之一段节而已。同时“∫”上这一圈又可视为一横线“ƒ”,这样又表示了“时间函数”的对应性。表示一切变化都有时间的对应。
所谓局态定位,就是局域变化而近似的静止定位。一切事物都有正反因素的存在,正反因素犹如坐标系中的纵横坐标,它可以大体近似地确定某一事物的位置。事物有事物的坐标,人有人的坐标。正确认识坐标,才能找准定位,正确决定行动方向。但这种定位是局域基础上的定位,世界事物时刻不停地变化着,不可能静下来让你定位,但我们可以象在红肿的皮肤上寻找一定的涂药水的区域,这就是局域,也就是近似地定界、定位。太极函学中用“无数第三点”来概括事物定位的存在。
五、哲学之函
哲学上提及函数的只有马赫的“函数关系论”,但是它是从认识论角度而言的,是以要素论为基础的。他认为世界是一种人们感觉要素的函数联系。把科学和人的认识所及的世界归结为要素的复合。要素就是感觉。因此这个世界以人的感觉为转移。把传统哲学和科学所论及的因果联系等自然事物的联系当作感觉(要素)的依存关系来描述。这种依存关系马赫归结为函数关系。主张用函数关系来取代传统的因果论,主张把整个世界的存在都看作是感觉的函数关系的存在。
从本体论角度出发的只有毕达哥拉斯学派的数理论。他们认为数是世界的本源,但由于缺乏事实对应因而只成了历史上盛行过一时的学说。
函学提出哲学之函是从本体论、认识论、方法论全方位提出的。这是因为哲学是对世界事物的终极本质包括其变化的追究。而与世界本质变化的特征相对应的只有以时间为自变量的函数最相吻合。
马恩选集第四卷第240页指出:“一个伟大的基本思想,即认为世界不是一成不变的事物的集合体,而是过程的集合体,······——这个伟大的基本思想,特别是从黑格尔以来,已经如此深入一般人的意识,以致它在这种一般形式中未必会遭到反对了。”
这说明大多数哲人们探讨的结果,公认了世界的变化性、过程性。而这种变化,这种过程最相对应的就是时间概念。时间绵延变化特征与世界事物变化绵延的特征呈现着一一对应的关系。这就自然而想起了马赫提出过的函数关系论来。其实,马赫只指出了世界认识论方面的局部对应,而马哲指出的过程论就指出了时间必然与世界一切过程的对应,这样自然而然产生“一切都是时间函数”的思想也就是可以理解的了。
“函”字在汉语中有多种含义,《词海》中指出的主要有五种:
一包含、包容。《汉书·叙传上》中就有“函之如海”的语句。
二为匣子,石函、铁函、镜函等。
三为封套,如书函。
四为信件,如来函、公函。
五为护身的铠甲。等等。
“函”字的这些意义,将“太极图”显现的中态定在、正态定变、局态定位统一起来,并丰富了现实世界中许多局域函变的意义,从而以函为名,形成了一整套自成体系的哲学思想,产生了用“时空参变”识用各家之家的函家,创立了用“时空域大小”判定各家各派都有可用之时之学说,指出“一切都有合理时,时长时短分高低。合得时宜易成事,有函乃大方生天!”
六、函学之函
函学之函是以上五函融和之函。数学之函是基础,它表示了函学之函的解析性,它用一定形式的解析式中的时间自变量揭示函学之函中深刻的数学意义。太极之函则以图形显示函学之函的图腾化意义,一目了然地告诉人们世界的本质哲理。时间之函则是函学之函的动态化表征,世界的一切都在变化,只有时间的绵延才能对应这种变化。时间函数正是这种“生成性”特征的最好描述。显示了函学之函的动态化趋势。空间之函实质上是时间之函的空间化,静态化,是时间空间化的结果。因此空间之函是函学之函的静态化趋势,显示了人类在变化中掌握规律,掌握近似不变的的可能性。哲学之函是函学之函的汉语理论化综合,以时空参变、一切都是时间函数的思想完成了函学之函之大成。形成高度体系化的本体论、认识论、方法论理论。正如中国社科院辩证法研究会的顾问陈中立老教授指出的,这是哲学深宫内院的追综和创新,要真正理解和运用函学之函,使我们想起北大吴国盛教授所说的话,这就是,研究函学如果没有全科知识的相当功力,就会陷入深渊而不可自拔。
 

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